Сферические координаты в новой системе

В предыдущей статье о базовой тригонометрии для астрологов мы вывели формулы для преобразования сферических координат в декартовы. В этой статье мы познакомимся с уравнениями перевода самих сферических координат из одной системы в другую. Это поможет нам решить поставленную ранее задачу перевода эклиптических координат в экваториальные, что необходимо для расчета первичных дирекций.

Вектор в декартовых координатах

Наш план работы будет таков. Для начала мы преобразуем сферические координаты небесного объекта в декартовы координаты в той же системе (скажем, в плоскости эклиптики) с помощью уравнения (2) из предыдущей статьи.

Далее мы перейдем в новую систему (например из плоскости эклиптики в плоскость экватора) также в терминах декартовых координат. На последнем шаге мы снова переведм декартовы координаты уже в новой системе обратно в сферические углы. Таким образом мы завершим искомое преобразование одних сферических координат в другие.

Для удобства мы введем понятие вектора в декартовых координатах как указателя на объект в привычной системе координат $XYZ$ .

Вектор имеет

начальную точку с координатами $(0, 0, 0)$
конечную точку с координатами $(x, y, z)$ , которая совпадает с местоположением объекта в пространстве.

Обозначим вектор буквой $v$ и запишем его следующем виде:

$v = x X + y Y + z Z$

В этой нотации мы имеем в виду, что вектор имеет протяженность в $X$ единиц в направлении оси $X$ , протяженность в $Y$ единиц вдоль оси $Y$ и $Z$ единиц вдоль оси $Z$ .

Вращение системы координат

Что произойдет, если мы повернем саму систему координат на угол $α$ в плоскости $XY$ ?

В исходной системе $XYZ$ вектор имеет координаты $(x, y)$ , а в новой (повернутой) системе он имеет координаты $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ , т.е.

v = x^{'} X_{rot} + y^{'} Y_{rot} + z^{'} Z_{rot}

Рассмотрим $X$ -ю часть вектора $v$ , а именно протяженность $x X$ . По-сути, это указатель на координату $x$ самого вектора. А указатель также является вектором.

Мы можем спроецировать этот указатель (то есть вектор) на оси $X_{rot}$ и $Y_{rot}$ . Мы помним из формулы (1) предыдущей статьи, что эти проекции равны $x cos α$ и $- x sin α$ . Итак, мы можем написать:

х X = x cos α X_{rot} - x sin α Y_{rot}

Таким же образом

y Y = y sin α X_{rot} + y cos α Y_{rot}

Мы не меняли ось $Z$ , поэтому $z Z = z Z_{rot}$ . Собрав все вместе, мы имеем:

v v = (x cos α + y sin α) X_{rot} + (- x sin α + y cos α) Y_{rot} + z Z_{rot} = x^{'} X_{rot} + y^{'} Y_{rot} + z^{'} Z_{rot}

Это означает, что:

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = x cos α + y sin α y^{'} = - x sin α + y cos α z^{'} = z (1)

Для обратного преобразования нам нужно заменить $α$ на $- α$ . По-сути, в обратном преобразовании мы поворачиваем вторую систему на такой же угол, но в обратном направлении, чтобы получить исходную систему координат. Это дает нам:

⎩ ⎨ ⎧ x = x^{'} cos α - y^{'} sin α y = x^{'} sin α + y^{'} cos α z = z^{'} (2)

Синус и косинус двух углов

Из $(2)$ , в частности, следует одно жизненно важное уравнение, которое мы будем регулярно использовать. Обозначим сферическую координату вектора $v$ (его долготу) в плоскости $X_{rot} Y_{rot}$ новой системы координат через $β$ (см. рисунок 3 ниже), т.е.

⎩ ⎨ ⎧ x = cos (α + β) y = sin (α + β) x^{'} = cos β y^{'} = sin β

Тогда сразу получаем уравнения для синуса и косинуса суммы двух углов:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α (3)

Матрицы вращения

Давайте вернемся к формуле $(2)$ и перепишем ее в более явной форме:

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = cos α y^{'} = - sin α z^{'} = 0 \times \times \times x x v + + + sin α cos α 0 \times \times \times y y y + + + 001 \times \times \times z z z

У нас есть повторяющаяся схема — мы последовательно умножаем координаты $x$ , $y$ и $z$ на определенные коэффициенты в первой, второй и третьей строках, а затем суммируем произведения этих умножений.

Мы можем отдельно перечислить эти коэффициенты для 1-й, 2-й и 3-й строк в квадратных скобках и выразить ту же идею более кратко:

x^{'} y^{'} z^{'} = cos α - sin α 0 sin α cos α 0 001 \times x y z

Это более удобное представление этих трех уравнений, и эта компактность облегчит нам жизнь. Мы произносим это так: если мы умножим координаты $x$ , $y$ и $z$ на эти коэффициенты, то получим новые координаты вектора в системе координат, повернутой на угол $α$ .

Эти коэффициенты обычно называются матрицей вращения, и выражение выше представляет собой умножение координат $(x, y, z)$ на матрицу вращения, что дает новые координаты $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ .

Для вращения в плоскости $XY$ на угол $α$ мы используем следующую матрицу вращения

A = cos α - sin α 0 sin α cos α 0 001 (4)

$A$ — это так называемая матрица вращения в плоскости $XY$ , т. е. двумерный массив коэффициентов, на которые мы умножаем координаты вектора, чтобы перейти из исходной системы координат в новую (повернутую).

Для обратного преобразования мы меняем $α$ на $- α$ , что дает инвертированную (то есть обратную) матрицу, симметричную оригинальной:

A^{T} = cos α sin α 0 - sin α cos α 0 001

Таким же образом матрицы вращения в плоскостях $XZ$ и $YZ$ имеют вид:

A_{X Z} = cos α 0 - sin α 010 sin α 0 cos α (5)

A_{Y Z} = 100 0 cos α - sin α 0 sin α cos α

Последовательные вращения

Эта краткая нотация для преобразования декартовых координат через матрицы вращения дает нам значительное преимущество. Теперь мы можем эффективно выполнять несколько последовательных поворотов в разных плоскостях и выражать их с помощью простой формулы.

Предположим, мы хотим повернуть систему координат на угол $α$ в плоскости $XY$ , а затем повернуть новую систему координат на угол $β$ в плоскости $X^{'} Z^{'}$ . Сначала мы получаем координаты вектора после вращения на угол $α$ :

x^{'} \y^{'} \z^{'} = A \times x \y \z

Затем мы поворачиваем этот вектор на угол $β$ во второй плоскости:

x^{''} \y^{''} \z^{''} = B \times x^{'} \y^{'} \z^{'}

Мы можем выразить это еще проще:

x^{''} \y^{''} \z^{''} = B \times A \times x \y \z

Как видите, мы просто умножаем матрицы в нужной последовательности. Здесь первая матрица поворота, согласно $(4)$ , имеет вид:

A = cos α - sin α 0 sin α cos α 0 001

А вторая матрица поворота, согласно $(5)$ , имеет вид:

B = cos β 0 - sin β 010 sin β 0 cos β

Как видите, мы можем очень компактно записывать преобразования из одной системы координат в другую.

Вуаля, у нас есть декартовы координаты исходного вектора в новой системе координат. На финальном шаге нам осталось лишь преобразовать новые декартовы координаты в сферические углы (в уже новой, повернутой, системе координат).

Для этого воспользуемся уравнением (2) из предыдущей статьи. И мы получим новые сферические координаты. Это решает поставленную нами в прошлой статье задачу.

Подведем итоги

Теперь вы знакомы с векторными объектами в декартовых координатах и с матрицами вращения.

Вы также знаете, что общий подход к преобразованию одной сферической системы в другую состоит из 3 шагов.

Шаг 1

Вам надо выразить сферические углы исходной системы координат в декартовы координаты с помощью уравнения (2) из предыдущей статьи. Мы обозначаем декартовы координаты вектора через $(x, y, z)$ .

Шаг 2

Затем вам надо повернуть систему координат на угол $α$ , а затем на $β$ вдоль нужных осей с помощью матриц вращения. Вы получите координаты того же вектора, только в рамках новой (повернутой) системы координат:

x^{''} \y^{''} \z^{''} = B \times A \times x \y \z

Шаг 3

Наконец, выразите новые декартовы координаты $(x^{''}, y^{''}, z^{''})$ в терминах сферические углов с помощью уравнения (2) из предыдущей статьи. Вы завершаете преобразование. Задача решена.