Уравнения сферических треугольников

В этой статье мы выведем основные уравнения сферического треугольника. Эти уравнения выражают соотношение между углами и изогнутыми сторонами треугольника, начерченного на небесной сфере. Эти формулы понадобятся нам для расчета примарных дирекций.

Рассмотрим прямоугольный треугольник на сфере со сторонами $α$ , $β$ и $γ$ , а также внутренними углами $A$ , $B$ и $C$ .

Как будут связаны между собой его стороны и углы?

Повернутые системы координат

Сначала определим вектор $v$ в декартовой системе координат $XYZ$ .

Из уравнения преобразования (1) следует, что $v$ имеет координаты

v = x = R cos β y = 0 z = R sin β

Теперь воспользуемся уже выведенной нами матрицей вращения, чтобы повернуть $XYZ$ на угол $α$ вдоль плоскости $XY$ и выразить этот вектор в новой (повернутой) системе координат $X^{'} Y^{'} Z^{'}$ . В новой системе координат вектор принимает вот такую форму:

v = R cos α cos β X^{'} - R sin α cos β Y^{'} + R sin β Z^{'}

Но, с другой стороны, та же $x^{'}$ компонента вектора $v$ есть просто проекция вектора на ось $X^{'}$ в плоскости угла $γ$ .

x^{'} = R cos γ

Это дает нам первое уравнение сферического треугольника:

cos γ = cos α cos β (1)

Теперь мы переходим к следующему шагу и вводим новую систему координат $X^{''} Y^{''} Z^{''}$ , то есть систему $X^{'} Y^{'} Z^{'}$ , повернутую на угол $- B$ (минус B) в плоскости $Y^{'} Z^{'}$ .

Если мы применим матрицу вращения к системе координат $X^{'} Y^{'} Z^{'}$ , мы получим следующую $z^{''}$ -компоненту вектора $v$ :

z^{''} = sin B y^{'} + cos B z^{'} = - R sin B sin α cos β + R cos B sin β

С другой стороны, $z^{''}$ -компонента вектора $v$ равна нулю. Это означает, что

sin α = \frac{tan β}{tan B} (2)

Точно такое же соотношение применимо к углу $β$ :

sin β = \frac{tan α}{tan A} (3)

Оставшиеся уравнения

Мы уже составили основные уравнения для сферических треугольников:

⎩ ⎨ ⎧ cos γ = cos α cos β sin α = tan β / tan B sin β = tan α / tan A

Все остальное — лишь следствие этих трех уравнений.

Во-первых, давайте умножим $(1)$ на $(2)$ , и мы получим

cos γ = \frac{1}{tan A tan B} (4)

Теперь рассмотрим $sin^{2} γ$ :

sin^{2} γ = 1 - cos^{2} γ = cos^{2} α + sin^{2} α - cos^{2} α cos^{2} β = sin^{2} α + cos^{2} α sin^{2} β

Точно так же мы можем написать

sin^{2} γ = sin^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β (5)

Теперь разделим обе части уравнения на $cos^{2} (γ)$ :

tan^{2} γ = tan^{2} α \frac{1}{cos ^{2} β} + tan^{2} β = tan^{2} β tan^{2} A + sin^{2} α tan^{2} B = sin^{2} α tan^{2} B [tan^{2} A + 1] = \frac{sin α tan B}{cos A}

что дает

sin γ = \frac{sin α}{sin A} (6)

Той же логикой из уравнения $(5)$ мы получаем

sin γ = \frac{sin β}{sin B} (7)

Полученное равенство

\frac{sin α}{sin A} = \frac{sin β}{sin B}

также называется теоремой синусов.

Теперь из $(3)$ следует

sin A = \frac{tan α}{sin β} cos A

Если мы подставим $sin A$ из $(6)$ , мы получим

cos A = \frac{cos α sin β}{sin γ} (8)

или

cos A = \frac{tan β}{tan γ} (9)

Аналогичным образом из $(2)$ следует, что

cos B = \frac{tan α}{tan γ} (10)

Если мы подставим $(7)$ в $(8)$ , мы получим

cos A = sin B cos α (11)

Аналогично,

cos B = sin A cos β (12)

Полный список всех уравлений

Мы вывели набор уравнений, необходимых для расчета примарных дирекций. Вот краткое изложение того, что мы получили

Сферический треугольник.

γ, α, β : α, β, B : β, α, A : γ, A, B : γ, α, A : γ, β, B : A, β, γ : B, α, γ : A, B, α : B, A, β : cos γ = cos α cos β tan β = sin α tan B tan α = sin β tan A cos γ = \frac{1}{tan A tan B} sin α = sin γ sin A sin β = sin γ sin B tan β = cos A tan γ tan α = cos B tan γ cos A = sin B cos α cos B = sin A cos β (1) (2) (3) (4) (6) (7) (9) (10) (11) (12)