В этой статье мы выведем основные уравнения сферического треугольника. Эти уравнения выражают соотношение между углами и изогнутыми сторонами треугольника, начерченного на небесной сфере. Эти формулы понадобятся нам для расчета примарных дирекций.

Рассмотрим прямоугольный треугольник на сфере со сторонами α\alpha, β\beta и γ\gamma, а также внутренними углами AA, BB и CC.

Как будут связаны между собой его стороны и углы?

A B α γ β

Повернутые системы координат

Сначала определим вектор v⃗\vec{v} в декартовой системе координат XYZ\textbf{XYZ}.

B α γ β X Z v X' Y'

Из уравнения преобразования (1) следует, что v⃗\vec{v} имеет координаты

v⃗=(x=Rcos⁡β y=0 z=Rsin⁡β)\vec{v} = \left( \begin{aligned} & x = R\cos\beta \\\ & y = 0 \\\ & z = R\sin\beta \end{aligned} \right)

Теперь воспользуемся уже выведенной нами матрицей вращения, чтобы повернуть XYZ\textbf{XYZ} на угол α\alpha вдоль плоскости XY\textbf{XY} и выразить этот вектор в новой (повернутой) системе координат X′Y′Z′\textbf X' \textbf Y' \textbf Z'. В новой системе координат вектор принимает вот такую форму:

v⃗=Rcos⁡αcos⁡β X′ −Rsin⁡αcos⁡β Y′ +Rsin⁡β Z′ \begin{aligned} \vec{v} & = R \cos\alpha \cos\beta~ \textbf X' \\\ & - R \sin\alpha \cos\beta~ \textbf Y' \\\ & + R\sin\beta~ \textbf Z' \\\ \end{aligned}

Но, с другой стороны, та же x′x' компонента вектора v⃗\vec{v} есть просто проекция вектора на ось X′\textbf X' в плоскости угла γ\gamma.

b α γ β X Z v X' Y'
x′=Rcos⁡γx' = R\cos{\gamma}

Это дает нам первое уравнение сферического треугольника:

cos⁡γ=cos⁡αcos⁡β(1)\cos\gamma = \cos\alpha\cos\beta\tag{1}

Теперь мы переходим к следующему шагу и вводим новую систему координат X′′Y′′Z′′\textbf X'' \textbf Y'' \textbf Z'', то есть систему X′Y′Z′\textbf X' \textbf Y' \textbf Z', повернутую на угол −B-B (минус B) в плоскости Y′Z′\textbf Y' \textbf Z'.

B α β Z v X'' Y' Z'' Y''

Если мы применим матрицу вращения к системе координат X′Y′Z′\textbf X' \textbf Y' \textbf Z', мы получим следующую z′′z''-компоненту вектора v⃗\vec{v}:

z′′=sin⁡B y′+cos⁡B z′= −Rsin⁡Bsin⁡αcos⁡β +Rcos⁡Bsin⁡β\begin{aligned} z'' & = \sin B~ y' + \cos B~ z' = \\\ & - R \sin B \sin\alpha \cos\beta \\\ & + R \cos B \sin \beta \end{aligned}

С другой стороны, z′′z''-компонента вектора v⃗\vec{v} равна нулю. Это означает, что

sin⁡α=tan⁡βtan⁡B(2)\sin\alpha = \frac{\tan\beta}{\tan B} \tag{2}

Точно такое же соотношение применимо к углу β\beta:

B α β A γ B α β A γ
sin⁡β=tan⁡αtan⁡A(3)\sin \beta = \frac{\tan \alpha} {\tan A }\tag{3}

Оставшиеся уравнения

Мы уже составили основные уравнения для сферических треугольников:

{cos⁡γ=cos⁡αcos⁡β sin⁡α=tan⁡β/tan⁡B sin⁡β=tan⁡α/tan⁡A\begin{cases} \cos \gamma = \cos \alpha \cos\beta \\\ \sin \alpha = \tan\beta/ \tan B \\\ \sin \beta = \tan\alpha/ \tan A \end{cases}

Все остальное — лишь следствие этих трех уравнений.

Во-первых, давайте умножим (1)(1) на (2)(2), и мы получим

cos⁡γ=1tan⁡Atan⁡B(4)\cos \gamma = \frac{1} {\tan A\tan B} \tag{4}

Теперь рассмотрим sin⁡2γ\sin^2\gamma:

sin⁡2γ=1−cos⁡2γ =cos⁡2α+sin⁡2α−cos⁡2αcos⁡2β =sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2β\begin{aligned} \sin^2 \gamma & = 1 - \cos^2 \gamma \\\ & = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - \cos^2\alpha \cos^2\beta \\\ & = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \sin^2\beta \end{aligned}

Точно так же мы можем написать

sin⁡2γ=sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β(5)\sin^2\gamma = \sin^2\beta + \cos^2\alpha \sin^2\beta\tag{5}

Теперь разделим обе части уравнения на cos⁡2(γ)\cos^2(\gamma):

tan⁡2γ=tan⁡2α1cos⁡2β+tan⁡2β =tan⁡2βtan⁡2A+sin⁡2αtan⁡2B =sin⁡2αtan⁡2B[tan⁡2A+1] =sin⁡αtan⁡Bcos⁡A\begin{aligned} \tan^2\gamma & = \tan^2\alpha \frac {1} {\cos^2\beta} + \tan^2\beta \\\ & = \tan^2\beta \tan^2A + \sin^2\alpha\tan^2B \\\ & = \sin^2\alpha\tan^2B \left[ \tan^2A + 1\right] \\\ & = \frac{\sin\alpha \tan B } {\cos A} \end{aligned}

что дает

sin⁡γ=sin⁡αsin⁡A(6)\sin\gamma = \frac{\sin\alpha} {\sin A}\tag{6}

Той же логикой из уравнения (5)(5) мы получаем

sin⁡γ=sin⁡βsin⁡B(7)\sin\gamma = \frac{\sin\beta} {\sin B}\tag{7}

Полученное равенство

sin⁡αsin⁡A=sin⁡βsin⁡B\frac{\sin\alpha} {\sin A} = \frac{\sin\beta} {\sin B}

также называется теоремой синусов.

Теперь из (3)(3) следует

sin⁡A=tan⁡αsin⁡βcos⁡A\sin A = \frac{\tan\alpha} {\sin\beta}\cos A

Если мы подставим sin⁡A\sin A из (6)(6), мы получим

cos⁡A=cos⁡αsin⁡βsin⁡γ(8)\cos A = \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}\tag{8}

или

cos⁡A=tan⁡βtan⁡γ(9)\cos A = \frac{\tan\beta} {\tan\gamma}\tag{9}

Аналогичным образом из (2)(2) следует, что

cos⁡B=tan⁡αtan⁡γ(10)\cos B = \frac{\tan\alpha} {\tan\gamma}\tag{10}

Если мы подставим (7)(7) в (8)(8), мы получим

cos⁡A=sin⁡Bcos⁡α(11)\cos A = \sin B \cos\alpha\tag{11}

Аналогично,

cos⁡B=sin⁡Acos⁡β(12)\cos B = \sin A \cos\beta\tag{12}

Полный список всех уравлений

Мы вывели набор уравнений, необходимых для расчета примарных дирекций. Вот краткое изложение того, что мы получили

B α β A γ B α β A γ

Сферический треугольник.

γ,α,β:cos⁡γ=cos⁡αcos⁡β α,β,B:tan⁡β=sin⁡αtan⁡B β,α,A:tan⁡α=sin⁡βtan⁡A γ,A,B:cos⁡γ=1tan⁡Atan⁡B γ,α,A:sin⁡α=sin⁡γsin⁡A γ,β,B:sin⁡β=sin⁡γsin⁡B A,β,γ:tan⁡β=cos⁡Atan⁡γ B,α,γ:tan⁡α=cos⁡Btan⁡γ A,B,α:cos⁡A=sin⁡Bcos⁡α B,A,β:cos⁡B=sin⁡Acos⁡β\begin{gather*} \gamma, \alpha, \beta: & \cos\gamma = \cos\alpha\cos\beta\tag{1}\\\ \alpha, \beta, B: & \tan\beta = \sin\alpha \tan B\tag{2}\\\ \beta, \alpha, A: & \tan \alpha = \sin \beta \tan A \tag{3}\\\ \gamma, A, B: & \cos \gamma = \frac{1} {\tan A\tan B} \tag{4}\\\ \gamma, \alpha, A: & \sin\alpha = \sin\gamma \sin A\tag{6}\\\ \gamma, \beta, B: & \sin\beta = \sin\gamma \sin B\tag{7}\\\ A, \beta, \gamma: & \tan\beta = \cos A \tan\gamma\tag{9}\\\ B, \alpha, \gamma: & \tan\alpha = \cos B \tan\gamma\tag{10}\\\ A, B, \alpha: & \cos A = \sin B \cos\alpha\tag{11}\\\ B, A, \beta: & \cos B = \sin A \cos\beta\tag{12} \end{gather*}