Как преобразовать эклиптические координаты в экваториальные?

В этой статье мы выведем уравнения для преобразования эклиптических координат планеты в экваториальные координаты и обратно. Эти преобразования необходимы для расчета первичных дирекций - древнейшей техники прогнозирования событий.

Обозначения

Во-первых, давайте определимся с терминами. Мы будем обозначать

• Небесную широту и долготу буквами $\lambda$ и $\delta$
• Экваториальные координаты - прямое восхождение и склонение через $RA$ и $D$
• Наклон эклиптики буквой $\epsilon$

Вращение координат

Обозначим вектор (указатель на наблюдаемую планету) в буквой $\vec{v}$. Тогда сферические координаты этого вектора в эклиптической системе координат будут

$$\vec{v} = (\lambda, \delta)$$

Декартовы координаты того же вектора, согласно уравнению (2) будут равны

$$\begin{aligned} \vec{v} &= \cos\delta\cos\lambda~\textbf X_\text{ecl} \\\ & + \cos\delta\sin\lambda~\textbf Y_\text{ecl} \\\ & + \sin\delta~\textbf Z_\text{ecl} \end{aligned}$$

Здесь мы положили $R$ (радиус небесной сферы) равным 1 для простоты. Ось $\textbf X_\text{ecl}$ направлена в 0° Овна, ось $\textbf Y_\text{elc}$ - в 0° Рака, ось $\textbf Z_\text{ecl}$ - в северное небесное полушарие.

Экваториальная плоскость наклонена под углом $-\epsilon$ относительно плоскости эклиптики в плоскости $\textbf Y_\text{ecl}\textbf Z_\text{ecl}$.

Мы можем использовать матрицу вращения, которую мы ввели ранее, подставив ($-\sin\epsilon$) вместо $\sin(-\epsilon)$.

$$\mathbf{A}_{YZ} = \left[\begin{array} {rrr} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & \cos\epsilon & -\sin\epsilon \\\ 0 & \sin\epsilon & \cos\epsilon \end{array}\right]$$

Это дает нам декартовы координаты вектора $\vec{v}$ в экваториальной системе координат:

$$\begin{cases} x_{eq} = \cos\delta\cos\lambda \\\ y_{eq} = \cos\epsilon\cos\delta\sin\lambda - \sin\epsilon\sin\delta \\\ z_{eq} = \sin\epsilon\cos\delta\sin\lambda + \cos\epsilon\sin\delta \end{cases}$$

Из уравнения преобразования (1) следует, что

$$\begin{cases} \tan(RA) = y_{eq} / x_{eq} \\\ \sin(D) = z_{eq} \end{cases}$$

Это дает нам окончательные уравнения для преобразования $(\lambda, \delta)\rightarrow(RA, D)$:

$$\begin{aligned} \tan(RA) = \frac{\cos\epsilon\sin\lambda - \sin\epsilon\tan\delta} {\cos\lambda} \\\ \sin(D) = \sin\epsilon\cos\delta\sin\lambda + \cos\epsilon\sin\delta \end{aligned}\tag{1}$$

Обратное преобразование

Для обратного преобразования мы меняем $\epsilon$ на $(-\epsilon)$. Это дает нам следующее:

$$\begin{aligned} \tan(\lambda) = \frac{\cos\epsilon\sin(RA) + \sin\epsilon\tan(D)} {\cos RA} \\\ \sin(\delta) = -\sin\epsilon\cos(D) \sin(RA) + \cos\epsilon\sin(D) \end{aligned}\tag{2}$$