Как преобразовать эклиптические координаты в экваториальные?

В этой статье мы выведем уравнения для преобразования эклиптических координат планеты в экваториальные координаты и обратно. Эти преобразования необходимы для расчета первичных дирекций - древнейшей техники прогнозирования событий.

Обозначения

Во-первых, давайте определимся с терминами. Мы будем обозначать

• Небесную широту и долготу буквами $\lambda$ и $\delta$
• Экваториальные координаты - прямое восхождение и склонение через $RA$ и $D$
• Наклон эклиптики буквой $ϵ$

Вращение координат

Обозначим вектор (указатель на наблюдаемую планету) в буквой $\vec{v}$. Тогда сферические координаты этого вектора в эклиптической системе координат будут

$$\vec{v}=(\lambda ,\delta )$$

Декартовы координаты того же вектора, согласно уравнению (2) будут равны

$$\begin{array}{rl}\vec{v}& =\cos \delta \cos \lambda {\text{X}}_{\text{ecl}}\\ & +\cos \delta \sin \lambda {\text{Y}}_{\text{ecl}}\\ & +\sin \delta {\text{Z}}_{\text{ecl}}\end{array}$$

Здесь мы положили $R$ (радиус небесной сферы) равным 1 для простоты. Ось ${\text{X}}_{\text{ecl}}$ направлена в 0° Овна, ось ${\text{Y}}_{\text{elc}}$ - в 0° Рака, ось ${\text{Z}}_{\text{ecl}}$ - в северное небесное полушарие.

Экваториальная плоскость наклонена под углом $-ϵ$ относительно плоскости эклиптики в плоскости ${\text{Y}}_{\text{ecl}}{\text{Z}}_{\text{ecl}}$.

Мы можем использовать матрицу вращения, которую мы ввели ранее, подставив ($-\sin ϵ$) вместо $\sin (-ϵ)$.

$${\mathbf{A}}_{YZ}=\left[\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& \cos ϵ& -\sin ϵ\\ 0& \sin ϵ& \cos ϵ\end{array}\right]$$

Это дает нам декартовы координаты вектора $\vec{v}$ в экваториальной системе координат:

$$\{\begin{array}{l}{x}_{eq}=\cos \delta \cos \lambda \\ y_{eq}=\cos ϵ\cos \delta \sin \lambda -\sin ϵ\sin \delta \\ z_{eq}=\sin ϵ\cos \delta \sin \lambda +\cos ϵ\sin \delta \end{array}$$

Из уравнения преобразования (1) следует, что

$$\{\begin{array}{l}\tan (RA)=y_{eq}/x_{eq}\\ \sin (D)=z_{eq}\end{array}$$

Это дает нам окончательные уравнения для преобразования $(\lambda ,\delta )\to (RA,D)$:

$$\begin{array}{r}\tan (RA)=\frac{\cos ϵ\sin \lambda -\sin ϵ\tan \delta }{\cos \lambda }\\ \sin (D)=\sin ϵ\cos \delta \sin \lambda +\cos ϵ\sin \delta \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Обратное преобразование

Для обратного преобразования мы меняем $ϵ$ на $(-ϵ)$. Это дает нам следующее:

$$\begin{array}{r}\tan (\lambda )=\frac{\cos ϵ\sin (RA)+\sin ϵ\tan (D)}{\cos RA}\\ \sin (\delta )=-\sin ϵ\cos (D)\sin (RA)+\cos ϵ\sin (D)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$