Уравнения ASC и MC

ASC - это скоращенное название слова ascendant, или восходящий градус зодиакального круга. MC - medium coeli, вершина неба - кульминирующий градус зодиакального круга. Эти две точки формируют так называемые углы гороскопа. В этой статье мы выведем формулы для расчета восходящего и кульминирующего градуса Зодиака.

Мы будем исходить из того, что все, что нам известно, — это местные географические координаты (конкретнее, широта) и местное звездное время.

В предыдущей статье мы ввели понятие звездного времени. Звездные сутки начинаются в 00:00, когда кульминирует 0° Овна и восходит 0° Рака. Поэтому, зная текущий звездный час, можно предсказать точный градус эклиптики, который восходит или кульминирует в настоящий момент.

Уравнение ASC

Давайте посмотрим на рисунок ниже:

У нас есть два прямоугольных сферических треугольника:

• Первый треугольник со сторонами $OA + AD$, $ASC$ и углом $\epsilon$ между ними
• Второй - со сторонами $D$, $AD$ и углом $\epsilon$

Здесь мы используем следующие обозначения:

• $OA$ - косое восхождение для ASC
• $AD$ - разница восхождений для ASC
• $\epsilon$ - наклон эклиптики
• $\phi$ - географическая широта наблюдателя

Давайте воспользуемся нашими удобными уравнениями для сферических треугольников, которые мы вывели ранее.

Из уравнения (3) сферических треугольников мы имеем

$$\sin(AD + OA) = \frac{\tan D}{\tan\epsilon}\tag{1.a}$$ $$\sin AD = \frac{\tan D}{\tan(90° - \phi)}\tag{1.b}$$

Из уравнения (6) сферических треугольников следует, что

$$\tan ASC = \frac{\tan(AD + OA)}{\cos\epsilon}\tag{1.c}$$

Разделим $(1.a)$ на $(1.b)$ и распишем синус двух углов согласно ($2$)

$$\tan AD = \frac{\sin OA \tan\epsilon\tan\phi}{1-\cos OA\tan\epsilon\tan\phi}\tag{1.d}$$

Перепишем $\tan(AD + OA)$ в (1.c) в виде:

$$\frac{\tan AD + \tan OA} {1 - \tan AD \tan OA}$$

Подставив $(1.d)$ в последнее уравнение, получим формулу для ASC:

$$\tan ASC = \frac{\sin OA}{\cos\epsilon\cos OA - \tan\phi\sin\epsilon}$$

Как мы обсуждали ранее, $OA_{ASC} = RAMC + 90°$. Это означает, что:

$$\tan ASC = \frac{-\cos RAMC} {\cos\epsilon\sin RAMC + \tan\phi\sin\epsilon}\tag{2}$$

Уравнение МС

Давайте посмотрим на рисунок ниже:

Имеем прямоугольный треугольник со сторонами $360°-RAMC$, $360°-MC$ и углом $\epsilon$ между ними.

Из ($9$) следует, что:

$$\tan(360° - MC) = \cos\epsilon \tan(360° - RAMC)$$

Это дает нам уравнение для MC:

$$\tan MC = \frac{\tan RAMC}{\cos\epsilon}\tag{2}$$

Итог

Мы вывели уравнения для ASC и MC для заданного звездного времени $t = RAMC / 15$ и заданной географической широты $\phi$

$$\begin{align*} &\tan ASC = \frac{-\cos RAMC} {\cos\epsilon\sin RAMC + \tan\phi\sin\epsilon}\tag{1} \\\ &\tan MC = \frac{\tan RAMC}{\cos\epsilon}\tag{2} \end{align*}$$